Открытый урок решение логарифмических неравенств. Логарифмические неравенства

Рассмотрим график логарифмической функции и график прямой пропорциональности

Отметим, что функция возрастает на области определения, Без графика это можно определить по основанию логарифма. Для где х>0, если основание логарифма больше нуля, но меньше единицы, то функция убывает, если основание логарифма больше единицы, то функция возрастает.

Важно заметить, что логарифмическая функция принимает положительные значения на множестве чисел, больших единицы, запишем это утверждение с помощью символов f(x) при x

Прямая пропорциональность y= x в этом случае на промежутке от одного до плюс бесконечности тоже принимает положительные значения, большие одного. Совпадение это или закономерность? Обо всём по порядку.

Неравенства вида называются логарифмическими, где а — положительное число, отличное от 1 и >0,)>0

Преобразуем неравенство к виду. При переносе слагаемых из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. По свойству логарифма, разность логарифмов с одинаковым основанием можно заменить логарифм частного, таким образом, наше неравенство примет вид.

Обозначим выражение t , тогда неравенство примет вид.

Рассмотрим это неравенство относительно основания а, большего единицы, и относительно основания а, большего нуля и меньшего единицы.

Если основание логарифма а, большего единицы, то функция возрастает на области определения и принимает положительные значения при t больше одного. Вернемся к обратной замене. Значит, дробь должна быть больше одного. Это означает, что f(x)>g(x).

Если же основание логарифма, большего нуля и меньшего единицы, тофункция убывает на области определения и принимает положительные значения при t больше нуля и меньше одного. При обратной замене неравенство равносильно неравенству, а оно выполняется при f(x)

Сделаем вывод:

Если)>0 и при a>1 логарифмическое неравенство

равносильно неравенству того же смысла)>),

а при 0

Равносильно неравенству противоположного смысла)<)

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

Решить неравенство:

Неравенства >0 и область допустимых значений переменной для данного логарифмического неравенства. Основание логарифма пять и оно больше одного, значит исходное неравенство равносильно неравенству. Решим полученную систему неравенств путем уединения переменной для этого. В первом неравенстве перенесем четыре в правую часть неравенства, поменяв знак минус на плюс. Получим.

Во втором неравенстве единицу перенесем в правую часть и запишем как минус один. Получим неравенство В третьем неравенстве минус четыре перенесем в правую часть, запишем как плюс четыре, а х перенесем в левую часть и запишем как минус икс. Получим неравенство. В нём можно привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства. Получим неравенство. В первом неравенстве поделим левую и правую часть неравенства на 2. Получим неравенство. Полученная в ходе решения система имеет знак одной направленности, в таких случаях очевидно, что данной системе удовлетворяет множество чисел больше пяти. Легко увидеть, что пять тоже удовлетворяет системе неравенств. В противном случае можно построить геометрическую модель данной системы и посмотреть решение.

Отметим на координатной прямой числа минус один, два и пять. Причем числам -1 и 2 будет соответствовать светлая точка, а числу пять — темная точка. Нанесем «штриховку» справа от 2 для первого неравенства, справа от 1 — для второго неравенства и справа от пяти — для третьего неравенства. Пересечение штриховок указывает на множество чисел, больших и равных пяти. Ответ запишем в виде выражения

Пример 2. Решить неравенство

Составим систему неравенств. Неравенства >0 и >0 определяют область допустимых значений неравенства. Основание логарифма равно 0,3, оно больше нуля, но меньше одного, значит логарифмическое неравенство равносильно неравенству с противоположным по смыслу знаком:

Полученная система трудна для параллельного решения неравенств. Решим каждое из них отдельно и рассмотрим общее решение на геометрической модели.

Неравенство является квадратным и решается по свойствам квадратичной функции, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Найдем нули данной функции, для этого её правую часть приравняем к нулю и решим полученное уравнение через разложение на множители. Для этого вынесем общий множитель икс за скобки, в скобках останется от первого слагаемого — шесть, от второго слагаемого — минус икс. Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Значит, первый множитель икс равен нулю или второй множитель шесть минус икс равен нулю. Тогда корни уравнения — ноль и шесть. Отметим их на координатной прямой в виде светлых точек, так как решаемое квадратное неравенство строгое и изобразим параболу ветвями вниз, проходящую через эти точки. Квадратичная функция принимает положительные значения на интервале от нуля до шести, значит решением неравенства является множество чисел x

Неравенство является линейным. Оно содержит отрицательные слагаемые, для удобства обе части неравенства умножим на минус единицу. Знак неравенства в этом случае поменяется на противоположный. Получим неравенство.

Перенесём восемь в правую часть неравенства и запишем как минус восемь. Таким образом, решением неравенства является множество чисел от минус бесконечности до минус восьми. Запишем решение неравенства в иде выражения x .

Неравенство сводится к квадратному неравенству, для этого перенесем минус восемь и минус икс в левую часть неравенства. Получим неравенство и приведем подобные 6х и х, Получим 7х, уравнение примет вид. Решается оно по свойствам квадратичной функции графиком которой является парабола с ветвями вниз. Найдем нули функции.0 при =0 и решим полученное квадратное уравнение через формулу дискриминанта Так как коэффициент b равен минус семи, коэффициент а равен минус единице, а с равен 8 то дискриминант уравнения равен 81. Найдем по формуле первый корень, он равен -1, второй корень равен 8.

Отметим полученные значения на координатной прямой темными точками, так рассматриваемое квадратное неравенство относится к нестрогим неравенствам. Изобразим на координатной прямой параболу с ветвями вниз. Квадратичная функция принимает меньшие и равные нулю значения на множестве чисел от минус бесконечности до включая и от 8 до плюс бесконечности включая 8. Решение этого неравенства запишем в виде выражения ]

Итак, все три неравенства решены, отметим их решения на одной координатной прямой. Значения переменной, которые бы удовлетворяли всем трём неравенствам одновременно, нет, что означает, что исходное логарифмическое неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет.

Этот факт можно было заметить после решения линейного неравенства, так как решением первого квадратного неравенства являются положительные числа от одного до шести, а решением второго неравенства являются отрицательные числа, то для этих двух неравенств уже нет общих решений и

исходное логарифмические неравенство не имеет решений.

Логарифмы обладают интересными свойствами, упрощающие вычисления и выражения, вспомним некоторые из них

1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
2. Любое число можно представить в виде логарифма. Например, 2 можно записать как логарифм четырех по основанию два или логарифм 25 по основанию 5, минус единицу можно записать как логарифм 0,2 по основанию пять или десятичный логарифм 0,1.

Пример 3. Решить неравенство:

Неравенство нужно преобразовать к виду.

Для этого единицу запишем в виде логарифма 2 по основанию два. А влевой чатси неравенства сумму логарифмов заменим по свойству на тождественно равное ему выражение — логарифм произведения. Получим неравенство вида

Составим систему неравенств. Неравенства, задающие область допустимых значений неравенства, опрелеяются по исходному неравенству, поэтому >0 и >0 будут первыми двумя неравенствами системы. Так как логарифм имеет основание 2, оно больше одного, то неравенство
Равносильно неравенству (х-3)(х-2)2.

В первом неравенстве перенесем минус три в правую часть, получим неравенство х>3, во втором — минус два перенесем в правую часть, получим неравенство х>2.

В третьем — раскроем скобки в левой части неравенства, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Получим неравенство.

Решим третье неравенство отдельно: перенесем два в левую часть неравенства и запишем с минусом.

Упростим полученное нравенство до вида. Сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю, тогда, по свойству коэффициентов, первый корень равен одному, а второй равен частному от с на а и равен в данном случае 4. Эти уравнения можно решить и через формулу дискриминанта, корни от способа решения не зависят.

Отметим эти корни на координатной прямой в виде тёмных точек, проведем через них параболу ветвями вверх. Неравенство

выполняется на множестве чисел от 1 до 4 включая 1 и 4.

Отметим на одной координатной прямой решение первого и второго неравенства, для этого сделаем штриховку правее трех для первого неравенства и правее двух для второго неравенства и штриховку от 1 до 4 для второго неравенства. Три неравенства одновременно выполняются только на множестве чисел от 3 до 4, включая 4. Значит, это и будет решение исходного логарифмического неравенства.

Вывод: При решении логарифмических неравенств

Если a>1 , то переходят к решению системы из неравенств, определяющих область допустимых значений неравенства, и неравенства подлогорифмических выражений того же знака.

Если 0

Данный урок разработан в системе уроков итогового повторения в 11 классе с целью актуализировать знания и умения учащихся решать логарифмические уравнения и неравенства. Хотя учащимся понадобятся знания по данной теме при выполнении небольшого количества заданий, тем не менее имеет смысл посвятить повторению этого материала хотя бы один урок.

Скачать:

Предварительный просмотр:

УРОК ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ И СПОСОБОВ ДЕЙСТВИЙ В СОЧЕТАНИИ С ИХ КОМПЛЕКСНЫМ ПРИМЕНЕНИЕМ

В 11 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ:

«РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»

НА ФЕСТИВАЛЬ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИДЕЙ «ОТКРЫТЫЙ УРОК».

ПОДГОТОВИЛА:

КОНСТАНТИНОВА О.Н.

Тема урока: Решение логарифмических уравнений и неравенств

Класс: 11

Цели урока:

Образовательные: создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств», систематизировать способы деятельности учащихся по применению комплекса знаний и способов действий в измененной и новой ситуациях, подготовка к ЕГЭ.

Развивающие: развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать навыки работы с тестовыми заданиями, логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

Оборудование урока: компьютер, проектор, экран.

Ход урока:

1. Организация начала занятия.

Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ.

Учитель: Ребята, к сегодняшнему уроку я подобрала несколько высказываний известных философов – математиков и даже одного из полководцев. Думаю, что эти слова будут помогать нам в нашей с вами работе. Перед вами слова известного французского философа и математика Рене Декарта: «Недостаточно только иметь хороший разум, но главное - это хорошо применять его».

Наши знания должны работать и принести положительный результат на экзамене. Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у вас имеются диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов. В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

Последуем совету Декарта и используем свои знания в устной работе.

II. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока:

а) актуализация опорных знаний

Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.

Давайте с вами ещё раз вспомним какие уравнения называются логарифмическими и заострим своё внимание на тех моментах, которые играют немаловажную роль при выполнении заданий.

1. Является ли уравнение lg5+xlg6=3 логарифмическим?
2. Существует ли хотя бы одно значение x , при котором верно равенство lg(x+3)=lgx+lg3
3. Записать область определения логарифмического уравнения log a f(x)=log b g(x) в виде системы неравенств.
4. Как решается уравнение, содержащее неизвестное и в основании, и в показателе степени, например x lg x = 10?
5. Нужна ли проверка полученных корней при решении логарифмических уравнений, почему? Решить двумя способами уравнение

log 3 (x+6) + log 3 (x-2) = 2 (два человека на отворотах доски).

1. Решите уравнения:

а) 2 x =3

б) 3 log 3 x =5

в) 7 log 7 x2 =36

г) lg(2x+1)=lgx

д) lgx 2 =0

е) lg(x+1)+lg(x-1)=lg3

ж) log 2 (x-4)=3

з) log 3 (x+5)=0

и) log 8 (x 2 -1)=1

к) lg(x-5) =-2

л) log 3 x=5log 3 2-2log 3 2

м) log 2 (log 3 x)=1

н) log π (log 3 (log 2 x))=0

7) Что такое логарифмические неравенства? На чем основано решение логарифмических неравенств?

8) Как решаются логарифмические неравенства вида log g(x) f(x)>b, log g(x) f(x)

9) по вариантам решить неравенства (два человека на отворотах доски).

1 вариант.

log 0.3 (2x-4) >log 0.3 (x+1)

2 вариант.

lg (3x-7) ≤ lg(x+1)

4. Учащимся предлагается выполнить тест с последующей проверкой. Тест представлен на экране. После выполнения теста на экран выводится слайд с ответами.

Тест:

первый вариант второй вариант

1.Решить уравнение:

log 0.5 (x 2 -4x-1) = -2 log 0.5 (x 2 -3x+10) = -3

1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4)-1и 2.

2.Укажите промежуток, которому принадлежит

корень уравнения:

log 2 (7+v) - log 2 (1-v) = 2 log 5 (t+5) – log 5 (t-11) = 1

1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16)

3. Решить неравенство:

Log 0.5 (2x+5) > -3 log 0.5 (2x-5)

1) Ø; 2) (-∞; 1,5); 3) (-2,5; 1,5); 4) (-2,5; +∞) 1) Ø; 2) (2,5; 4,5); 3) (4,5; +∞); 4) (-∞; 2,5)

4. Какое из предложенных чисел является решением неравенства:

log √3.5 (x 2 -0,5) √2.5 (x 2 -6,5) > 2

1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2

После окончания работы учащиеся сдают тест на отдельных листочках, оставив при этом для проверки номера выбранных ответов. Далее учащимся предоставляется возможность проверить и оценить свою работу.

На экране следующий слайд:

Первый вариант 1 3 3 1

Второй вариант 2 4 3 4

Верно 4 задания - оценка «5»

3 задания - оценка «4»

2 задания - оценка «3»

Другие варианты - «нужно поработать»

III. Закрепление и применение знаний и способов действий.

После того, как вы справились с обязательным уровнем подготовки, предлагаю заняться более интересным делом (цитирую слова Р. Декарта) «Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать».

Предлагаю вам поразмышлять над следующими заданиями в группах. Как говориться «одна голова хорошо, а две – лучше».

Каждое ваше правильное решение поможет раскрыть одно мудрое изречение. (Дети работают с карточками в группах по 3-4 человека). Представитель каждой группы дает объяснение решения для всего класса.

На доске постепенно высвечивается высказывание А.В. Суворова «Скорость нужна, а поспешность вредна».

Задания в группах:

1) Решить уравнение:

x log 6 x/6 = 36

2) Решить неравенство:

log 2 3-x (x+0.5)/(x (x-1)) ≤ 0

3) Вычислите абсциссу точки пересечения графиков функций:

y = log 0.3 (x 2 - x - 5) и y = log 0.3 (x/3).

б) учащимся предлагается выполнить дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой.

I вариант

1.Решить уравнение

log 2 0.5 x -log 0.5 x=6

2. Решить неравенство

lg 2 x+5lgx+9>0

II вариант

1.Решить уравнение

3/(lgx – 2)+2/(lgx – 3)= -4

2. Решить неравенство

lg 2 x 2 +3lgx>1

III вариант

1.Решить уравнение

|1-log 1/9 x|+1 = |2- log 1/9 x|

2. Решить неравенство

log 4 2 x + log 4 √x > 1.5

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу.

I вариант

1. ОДЗ: x >0, обозначим log 0.5 x=y

Y 2 -y-6=0

y 1 = -2 y 2 = 3

x 1 = 4 x 2 = 1/8

Ответ: x 1 = 4 x 2 = 1/8

2. ОДЗ: x >0, обозначим lg x = y

y 2 +5y+9>0

y – любое

x >0

Ответ: x >0

II вариант

1. ОДЗ: x >0, x ≠ 100, x ≠ 1000

lg x – 2 = y

3/y + 2/(y-1) = -4

4y 2 + y – 3 = 0, y ≠ 0, y ≠ 1

D = 49

y 1 = -1 y 2 = 3/4

x 1 = 10 x 2 = 100 4 √1000

Ответ: x 1 = 10 x 2 = 100 4 √1000

1. ОДЗ: x >0

lg x = y

4y 2 + 3y – 1 = 0

D = 25

y 1 = -1 y 2 = 1/4

x 1 = 0,1 x 2 = 4 √10

Ответ: x Є (0; 0,1) U (4 √10; +∞)

III вариант

1. ОДЗ: x >0

1 – log 1/9 x = y

| y |+1 = | 1+ y |

а) y

б) -1 ≤ y ≤ 0: -y + 1= 1 + y, y = 0

в) y >0: y + 1 = 1 + y, y >0

1 – log 1/9 x ≥ 0

log 1/9 x ≤ 1

x ≥ 1/9

Ответ: x ≥ 1/9

1. ОДЗ: x >0

log 4 x = y

2y 2 + y – 3 > 0

D = 25

y 1 = -3/2 y 2 = 1

log 4 x 4 x > 1

Ответ: x Є (0; 1/8) U (4; +∞)

Учащимся предлагается выставить оценку за самостоятельную работу.

IV. Домашнее задание :

Составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом.

V . Итоги урока. Рефлексия.

1. Благодаря сегодняшнему уроку, я …
2. Сегодняшний урок помог мне …
3. Сегодня на уроке мне запомнилось …
4. Сегодня на уроке мне больше всего понравилось …
5. После сегодняшнего урока мне захотелось …
6. Сегодня на уроке я узнал(а) …
7. После сегодняшнего урока я буду знать …
8. После сегодняшнего урока я хочу сказать …
9. Сегодня на уроке я научился …
10. Сегодняшний урок дал мне …

Ребята, вы выставили себе оценки за каждый этап урока. Найдите средний балл, это есть предварительный результат вашей работы на уроке.

Довольны ли вы собой, своей работой?

Поднимите, пожалуйста, руку те, чей средний балл «5» или «4». Это результат хороший.

Ребята, а с теми из вас, кто не доволен результатами своей работы по данной теме, у кого есть вопросы, мы с вами встречаемся на дополнительном занятии.

Благодарю вас за урок и до следующей встречи.

Приложения к уроку

Приложение № 1 – презентация

Приложение № 2 – диагностическая карта

Решите уравнения: а) 2 x =3 б) 3 log 3 x =5 в) 7 log 7 x2 =36 г) lg(2x+1)=lgx д) lgx 2 =0 е) lg(x+1)+lg(x-1)=lg3 ж) log 2 (x-4)=3 з) log 3 (x+5)=0 и) log 8 (x 2 -1)=1 к) lg(x-5) =-2 л) log 3 x=5log 3 2-2log 3 2 м) log 2 (log 3 x)=1 н) log π (log 3 (log 2 x))=0

Логарифмические неравенства Что такое логарифмические неравенства? На чем основано решение логарифмических неравенств? Как решаются логарифмические неравенства вида log g (x) f (x)> b , log g (x) f (x) log 0.3(x +1) 2 вариант. lg (3 x -7) ≤ lg (x +1)

первый вариант второй вариант 1.Решить уравнение: log 0.5 (x 2 -4x-1) = -2 log 0.5 (x 2 -3x+10) = -3 1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4) -1и 2. 2.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: log 2 (7+v) - log 2 (1-v) = 2 log 5 (t+5) – log 5 (t-11) = 1 1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16) 3. Решить неравенство: log 0.5 (2 x +5) > -3 log 0.5 (2 x -5) 2 1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2 Тест

Ответы к тесту Первый вариант 1 3 3 1 Второй вариант 2 4 3 4 Верно 4 задания - оценка «5» 3 задания - оценка «4» 2 задания - оценка «3» Другие варианты - «нужно поработать»

«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать» Р. Декарт

«Скорость нужна, а поспешность вредна» А.В. Суворов Задания в группах: 1) Решить уравнение: x log 6 x /6 = 36 2) Решить неравенство: log 2 3-x (x+0.5)/(x (x-1)) ≤ 0 3) Вычислите абсциссу точки пересечения графиков функций: y = log 0.3 (x 2 - x - 5) и y = log 0.3 (x/3).

Самостоятельная работа I вариант 1.Решить уравнение log 2 0.5 x - log 0.5 x =6 2. Решить неравенство lg 2 x+5lgx+9>0 II вариант 1.Решить уравнение 3/(lgx – 2)+2/(lgx – 3)= -4 2. Решить неравенство lg 2 x 2 + 3lgx > 1 III вариант 1.Решить уравнение |1- log 1/9 x |+1 = |2- log 1/9 x | 2. Решить неравенство log 4 2 x + log 4 √x > 1.5

Проверка самостоятельной работы. I вариант 1. ОДЗ: x >0, обозначим log 0.5 x = y y 2 - y -6=0 y 1 = -2 y 2 = 3 x 1 = 4 x 2 = 1/8 Ответ: x 1 = 4 x 2 = 1/8 2. ОДЗ: x >0, обозначим lg x = y y 2 +5 y +9>0 D 0 Ответ: x >0

Проверка самостоятельной работы. II вариант 1. ОДЗ: x >0, x ≠ 100 , x ≠ 100 0 lg x – 2 = y 3/ y + 2/(y -1) = -4 4 y 2 + y – 3 = 0, y ≠ 0, y ≠ 1 D = 49 y 1 = - 1 y 2 = 3/4 x 1 = 10 x 2 = 100 4√1000 Ответ: x 1 = 10 x 2 = 100 4√1000 2. ОДЗ: x >0 lg x = y 4 y 2 + 3 y – 1 = 0 D = 25 y 1 = -1 y 2 = 1/4 x 1 = 0,1 x 2 = 4√10 Ответ: x Є (0; 0,1) U (4√10; +∞)

Проверка самостоятельной работы. III вариант 1. ОДЗ: x >0 1 – log 1/9 x = y | y |+1 = | 1+ y | а) y 0: y + 1 = 1 + y, y >0 1 – log 1/9 x ≥ 0 log 1/9 x ≤ 1 x ≥ 1/9 Ответ: x ≥ 1/9 2. ОДЗ: x >0 log 4 x = y 2y 2 + y – 3 > 0 D = 25 y 1 = -3/2 y 2 = 1 log 4 x 1 x 4 Ответ: x Є (0; 1/8) U (4 ; +∞)

«Ошибка одного- урок другому» Д. Рей

Информация о домашнем задании Домашнее задание: составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом.

Рефлексия деятельности Благодаря сегодняшнему уроку, я … Сегодняшний урок помог мне … Сегодня на уроке мне запомнилось … Сегодня на уроке мне больше всего понравилось … После сегодняшнего урока мне захотелось … Сегодня на уроке я узнал(а) … После сегодняшнего урока я буду знать … После сегодняшнего урока я хочу сказать … Сегодня на уроке я научился … Сегодняшний урок дал мне …

На этом уроке мы изучим следующую тему: «Логарифмические неравенства». Для того чтобы научиться правильно решать простейшие логарифмические неравенства, необходимо повторить основные свойства логарифмических функций. На этом занятии мы вместе с преподавателем рассмотрим несколько примеров на указанную тему и научимся их правильно решать, применяя полученные ранее знания.

Тема: Метод интервалов

Урок: Логарифмические неравенства

Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида (). Здесь t - независимая переменная, а - конкретное число, у - зависимая переменная, функция.

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности, ). При монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности, ).

Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда:

Например:

Рис. 2. Иллюстрация решения примера

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:

Рис. 3. Иллюстрация решения примера

Ответ: нет решений

Выполним обобщение. Мы рассматриваем простейшие логарифмические неравенства, т. е. неравенства вида:

Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим.

Методика решения:

1. Уравнять основания логарифмов;

2. Сравнить подлогарифмические выражения:

При изменить знак неравенства на противоположный;

3. Учесть ОДЗ;

Пример 1 - решить неравенство:

Уравняем основания логарифмов. Для этого число в правой части представим в виде логарифма с нужным основанием:

Итак, имеем неравенство:

Рис. 4. Иллюстрация решения примера 1

Пример 2 - решить неравенство:

Уравняем основания:

Имеем неравенство:

Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:

Имеем систему двух простейших логарифмических неравенств. Уравняем основания в каждом из них.

Мишенькина Татьяна Ивановна
учитель математики
I квалификационной категории
МБОУ «Лицей №9 имени АС Пушкина
ЗМР РТ»
Урок в 10 классе по теме «Логарифмические неравенства»
Цели: а) образовательные: ▪ актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств;
▪обобщение знаний и способов решения;▪ контроль и самоконтроль знаний. б) развивающие: ▪ развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;▪ развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;▪ развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;▪ развитие интереса к предмету через содержание учебного материала.в) воспитательные:▪ воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;▪ воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи;▪ воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.
Технологии, используемые на уроке: технология дифференцированного и разно-уровневого обучения; технология обучения в сотрудничестве, индивидуально-групповая технология.
Оборудование: проектор, доска, карточки с заданиями, оценочные листы.
Задачи: - закрепить умения решать логарифмические неравенства
- рассмотреть типичные трудности, встречающиеся при решении логарифмических неравенств
- познакомиться с методом «рационализации» при решении логарифмических неравенств
Ход урока
У каждого ученика на столе имеется оценочный лист (см. приложение №1).
Актуализация знаний (0-5б)
(самооценка) Деловая игра
(0-5б)
(оценивает учитель) Работа по карточкам
(0-4б)
(оценивает партнер по плечу) Работа с формулами
(0-3б)
(самооценка) После каждого этапа лист заполняется, что даст возможность оценить работу на уроке, определить задачи на устранение пробелов в знаниях. За правильный ответ ученик вписывает в оценочный лист баллы.
I. Какие ассоциации можно составить с понятием логарифма?Предполагаемые ответы учеников:
(логарифмические уравнения, логарифмические неравенства, логарифмическая функция и т.д.)
Действительно, мы уже много знаем о логарифмах: умеем сравнивать логарифмы, решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства, строить графики логарифмической функции.
Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств
а) при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей
б) если решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства
Однако, есть очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов, необходимо учитывать область допустимых значений.
II.Актуализация опорных знаний:
1)Вспомним свойства логарифмической функции (слайд 3)
2)Выполним задания, используя свойства логарифмической функции
Задание 1.Найти область определения функции (слайд 4)
а) у =log191х2 б) у =log2,13-x в) у =log5I7x-1I
Задание 2. Сравнить с нулем значения логарифма (слайд 5)
а) lg 7 б) log0,43 в) ln0,7
Задание 3. Решить неравенство: (слайд 6)
а) log0,3 x>log0,3 5 б)log2х< log28 в)log0,5x<0
С помощью логарифмов можно сравнивать числа (слайд 7)
3) Логарифмическая комедия.
Сейчас я докажу вам, что 2>3.
Начнем с неравенства 14>18 , бесспорно верного. Затем следует преобразование lg122>lg123, тоже не вызывающее сомнений, значит2>3 , т.е. . Разделим обе части неравенства на, имеем 2>3.
Попробуйте разгадать софизм. (Математическим софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного).
4) Продолжим разгадывать софизмы. Найдите ошибку в решении следующих неравенств.
Деловая игра: ученики выступают в роли экспертов(за правильные ответы награждаются баллами)
Задание 4. Найдите ошибку в решении неравенства: (слайд 8)
1. а)log8 (5х-10) < log8(14-х),
5x-10 < 14-x,
6x < 24,
x < 4.
Ответ: (-∞; 4).
Ошибка: не учтена область определения неравенства.
Верное решение:
log8 (5х-10)< log8 (14-х) (слайд 9)
5x-10>0,14-x>0,5x-10<14-x; x>2,x<14,x<4; 2 2.log3x+2+log3x≤1log3x+2x≤log33 (слайд 10)
xx+2>0,xx+2≤3 xx+2>0x2+ 2x-3≤0 х<-2,х>0;-3≤х≤1 -3≤x<-20 Верное решение log3x+2+log3x≤1 log3x+2x≤log33 х+2 >0,х>0,xx+2≤3 х >-2,х>0,-3≤х≤1 0<х≤1.
Ответ: (0:1.3. log0,5 (3х+1)< log0,5(2-х) (слайд11)
3x+1>0,2-x>0,3x+1<2-x; x> -13,x<2,x<14; -13 На что же мы должны обратить особое внимание при решении логарифмических неравенств? Как вы думаете?
ВНИМАНИЕ! (слайд 12)
1. ОДЗ исходного неравенства. 2.Основание логарифма.
В завершении работы ученики заполняют оценочный лист.
III.Работа по карточкам (см. приложение 2)
Решить неравенство в тетради, записать ответ в таблицу (столбик 2),записать формулу, которую использовали при решении неравенства (столбик 3).
Решить неравенство ответ Какие формулы использовали
1.lg(x-2) + lg (27 – x) < 2
2.log3 (x+2)(x+4) + log1/3 (x+2) < 0,5 log√3 7
3.log4 x2 < log2 (4 – x) + log2 (3 - x)
x+3
4.logx ------ > 1
x-1 Проверить с партнером по плечу, затем правильные ответы выписать на доске, обсудить формулы
loga(xy) = logaIxI + logaIyIloga(x/y) = logaIxI - logaIyIlogax2 = 2logaIxI

IV.При решении неравенства №4 возникает вопрос: как решить? Учитывая свойства логарифмической функции, нужно рассмотреть 2 случая:
1) основание логарифма 0 < а < 1 2) основание логарифма а> 1.
Есть метод, который облегчает решение неравенства. Назовем его метод «рационализации».
Он основан на следующем факте: знак разности loga f(x) – loga g(x) совпадает со знаком произведения(а – 1)(f (x) –g(x)) на ОДЗ, т.е.
loga f(x) > loga g(x) <=> f(x) >0 ,g(x)>0 , (а – 1)(f (x) –g(x))>0.
(это утверждение легко доказывается, попробуйте самостоятельно).
Решить неравенство №5 этим методом
№5.log1/4(3x+8)
Рассмотрим теперь неравенство logh(x) f(x)> logh(x) g(x)>0, a> 0,a ≠1 и найдем соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0, g(x)>0, имеем (h(x) – 1)(f(x) - g(x)) > 0
Далее неравенство №4(из карточки) – ученики решают самостоятельно, командиры групп оценивают.
№6. (lg(3x2-3x+7) – lg(6+x-x2))/(10x-7)(10x-3) ≥ 0
(задание разбирается на доске учителем)
Итак, при решении логарифмических неравенств можно использовать равносильные переходы на области допустимых значений переменных.
V. Практикум по решению неравенств.(предлагается задание для работы в группах с обсуждением, проверкой на доске)
№7.(log0,5(x+1))/(x-4)<0
№8.(log2(x-3))/(x2-25)>0
№9.log2x(x2-5x+6)<1
№10.log3x+5(9x2+8x+8)>2
№11.logx-3(2(x2-10x+24))≥logx-3(x2-9)
VI. Домашнее задание: подобрать и решить 5 неравенств на применение нового метода
VII. Рефлексия.
- что нового узнали на уроке
- где будем применять
- какие трудности испытывали
VIII. Подведение итога урока. Подсчет баллов, сдать оценочные листы.

Разработка урока

учителя математики школы № 42 г. Томска Полуэктовой Т.Е..

Тема: Подготовка обучающихся к ЕГЭ при изучении темы « Решение логарифмических уравнений ».

«Изобретение логарифмов, сократив

Работу астронома, продлило ему жизнь»

П.С.Лаплас

Цели урока:

1. Ввести понятие - простейшие логарифмические уравнения
2. Рассмотреть основные методы решений основных типов логарифмических уравнений.

Требования к знаниям и умениям обучающихся:

1. Знать вид простейших логарифмических уравнений
2. Уметь применять различные методы при решении логарифмических уравнений.

План уроков

У Р О К 1

I . Организационный момент: формирование мотива, желания работать на уроке.

II. Теоретическая разминка: повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать. Работа проходит в форме ответов на вопросы:

1. Дайте определение логарифма числа по заданному основанию.
2. Запишите основное логарифмическое тождество (условия а ≠ 1 , а > 0 , в > 0 )
3. Основные свойства логарифмов (а ≠ 1 , а > 0 , в > 0, х > 0, у > 0 ). Формулировки и формулы.

1. Логарифм единицы.
2. Логарифм самого основания.
3. Логарифм произведения.
4. Логарифм частного.
5. Логарифм степени.
6. Логарифм корня.

1. Формула логарифмического перехода от одного основания к другому
2. Какие логарифмы называются десятичными, натуральными и как они обозначаются? Чему равны lg 100 и lg 0, 001?
3. Дайте определение логарифмической функции.
4. Каковы область определения и область значений функции у = log а х и их обозначения?
5. Свойства монотонности: в каком случае функция у = loq а х является возрастающей. в каком убывающей?
6. Найдите выражения, имеющие смысл: log 3 5 ; log 5 0 ; log 2 (-4) ; log 5 1 ; log 5 5.

III. Изложение нового материала

В иррациональном уравнении неизвестное содержится под знаком корня различной степени.

А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма, как его назвать?

(логарифмическое). Предложить ученикам дать определение логарифмического уравнения.

Определение : Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее

Неизвестное под знаком логарифма.

Какое преобразование называют логарифмированием?

(Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием).

Какое преобразование называют потенцированием?

(Действие, которое заключается в нахождении числа по данному логарифму, называют потенцированием).

При решении логарифмических уравнений часто приходится выполнять эти преобразования.

Следует иметь в виду, что указанные операции могут привести к уравнениям, не равносильным данным..

Логарифмирование – это опасная операция, т.к. при ней может произойти потеря корней.

Пример : х 2 = 25 ; прологарифмируем обе части log 5 х 2 = log 5 25;

Х 1,2 = ± 5. уравнения по основанию 5: 2 log 5 х = 2;

log 5 х = 1;

Х = 5 потеря корня х = - 5

Избежать этой ошибки поможет нахождение ОДЗ уравнения.

При потенцировании потери корней не происходит, но могут получиться посторонние корни, которые легко обнаруживаются при подставке их в исходное уравнение.

Если при подстановке какого – либо корня в уравнение под знаком логарифма получается отрицательное число или нуль, то этот корень надо отбросить как посторонний.

Пример: log 2 (х +1) + log 2 х = 2 используем свойства логарифма произведения

log 2 ((х +1)х)= 2 используем определение логарифма

Х(х+1) = 2 2

х 2 + х - 4 = 0 , получаем х 1 = 1 и х 2 = -2 log 2 (-2)

Выражение не имеет смысла.

С учётом вышеизложенного при решении логарифмических уравнений приоритетом является проверка,а не ОДЗ.

Методы решения логарифмических уравнений.

Основные методы решения логарифмических уравнений:

1. Метод потенцирования, т.е. переход от уравнения log а f (х) = log а φ(х) к уравнению следствию

f (х) = φ(х);

1. Метод введения новых переменных;
2. Метод логарифмирования, т.е. переход от уравнения f (х) = φ(х) к уравнению

log а f (х) = log а φ(х)

1) . Уравнение вида log а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , х > 0, называется простейшим логарифмическим уравнением, оно равносильно уравнению х = а в , причём ни проверка, ни ОДЗ не требуется,т.е.

1. log а х = в,

А ≠ 1 , а > 0 ; х = а в

При решений уравнений такого типа можно выделить ещё два типа:

1. log а f (х) = в, f (х) > 0, f (х) = а в .

А ≠ 1 , а > 0 ; f (х) = а в ;

1. log а f (х) = log а φ(х),

А ≠ 1 , а > 0, f (х) = φ(х)

f (х) = > 0, φ(х) > 0, φ(х) > 0.,

У Р О К 2

Рассмотрим примеры решений различных логарифмических логарифмических уравнений:

1) Решение уравнений по определению логарифма.

Пример 1 . Найдите все решения уравнения log 2 (3 х 2 – х) = 1, принадлежащие области определения функции у = √2 – 5х.

Решение: Уравнение log 2 (3 х 2 – х) = 1 равносильно уравнению 3х 2 – х = 2 . имеющему корни х 1 = 1,

х 2 = -2/3.При х = 1 функция у = √2 – 5х не определена., а при х = -2/3 определена. Ответ : -2/3

Пример 2. Решить уравнение log 3 (4  3 х -1 – 1) = 2х – 1 .

Решение: По определению логарифма имеем : 4  3 х -1 – 1 = 3 2х – 1 , 4/3  3 х – 1 + 3 2х  1/3 . Обозначим

3 х = у, тогда 4/3 у – 1 = 1/3 у 2 , у 2 – 4у + 3 = 0 , у 1 = 1 , у 2 = 3. далее. если 3 х = 1 . х = 0 , и если 3 х = 3 , то х = 1.

Заметим, что при найденных значениях х выражение под знаком логарифма положительно.

Ответ :  0;1 

Пример 3. Решить уравнение log 3 (0,5 + х) = log 3 0.5 - log 3 х.

Решение : Перегруппируем члены уравнения log 3 (0,5 + х) + log 3 х = log 3 0.5 .

х  0, х  0 ,

0,5 + х  0 х  0, х = -1 х = 0,5

log 3 (0,5х + х 2 ) = log 3 0,5 х + 2х 2 = 1 х = ½

Ответ : 0,5.

Пример 4 . Решить уравнение log 2 (х +2) = log 2 (х 2 + х - 7).

Решение: Из равенства логарифмов следует равенство, стоящих под знаком логарифма выражений:

Х + 2 = х 2 + х – 7. Отсюда х 2 = 9 . х = - 3 или х = 3.

Проверка показывает, что х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, х = 3 является его решением. Ответ :3

Пример 5. Решить уравнение log х – 6 (х - 4) = 2.

Решение: областью определения уравнения log х – 6 (х - 4) = 2 является х  6 , х – 6  1 . для этих значений х уравнение равносильно следующему: (х – 6) 2 = х – 4 . Решив его, получим х 1 = 8 и х 2 = 5 .Учитывая ограничения, запишем ответ: х = 8 . Ответ : 8

2). Метод сведения обеих частей уравнения к логарифму с одинаковым основанием.

Пример 6 . Найти все корни уравнения 5 х  2 2+х/х = 40.

Решение : Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 и, применив свойства логарифмов, получим: 2+х / х + х log 2 5 = 3 + log 2 5, или 2 – 2х /х + (х – 1) log 2 5 = 0 ,. или

(х – 1)( log 2 5 – 2/х) = 0 , откуда х = 1 или х = 2/ log 2 5 = 2 log 5 2 = log 5 4.

Ответ :  1; log 5 4  .

Пример 7 . Решить уравнение х lg х – 1 = 100 .

Решение : Учитывая ОДЗ: х  0 , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: lg х lg х – 1 = lg 100. Применяем основное логарифмическое тождество,получаем: lg х (lg х – 1) = 2 . Пусть lg х = а, тогда а 2 – а – 2 = 0 . Решив его, получим а = 2 или а = -1 .

Возвращаемся к замене переменной lg х =2 или lg х = -1 , тогда х = 100 , х = 1/10

3). Метод введения новой переменной мы уже применили при решении предыдущего уравнения и уравнения в примере 2.

Пример 8: Решить уравнения lg 2 (10х) + lg (10х) = 6 – 3 lg 1/10.

Решение: ОДЗ: х  0

Используем свойства логарифма и получаем (lg 10 + lg х) 2 + lg 10 + lg х = 6 +3 lg х.

(1 + lg х) 2 + 1 + lg х = 6 +3 lg х.

Пусть lg х = а, (1 + а) 2 + 1 + а = 6 + 3а, а 2 = 4 , а = 2;

А = -2.

lg х = 2 , х = 100; lg х = - 2 , х = 1/100. Ответ: 100 ; 0, 01

Также при решении логарифмических уравнений следует помнить, что при вынесении чётной степени под знаком логарифма получаем модуль функции

log а f (х) 2 n = 2 n log а | f (х) |

Пример 8: Найти абсциссы тех точек графика функции у = 2 log 2 (3х +5) + log 2 х 2 , лежащие в верхней полуплоскости, расстояние от которых до оси абсцисс равно2.

Решение: Для точки верхней полуплоскости расстояние до оси абсцисс равно её ординате. Таким образом, для выполнения условия задачи необходимо и достаточно равенства

2 log 2 (3х +5) + log 2 х 2 = 2.

Решим это уравнение:. 2 log 2 (3х +5) + log 2  х  = 2 .Используя свойства логарифмов, получаем:

log 2 ((3х +5)   х  ) = 1, (3х + 5)   х  = 2.

Раскрывая модуль, получим два случая:

1. (3х + 5) х = 2 , 3х 2 +5х – 2= 0 , х 1 = -2  0 , х 2 = 1/3 .

Х  0.

1. (3х + 5) (-х) = 2, 3х2 + 5х + 2 = 0 , х 1 = -1 , х 2 = -2/3 .

Х  0.

Ответ: таких точек три, их абсциссы: -1; -2/3 ; 1/3 .

II. Закрепление изученного материала.

Решить уравнения:

1. log 3 2 х + log 3 х = 6;

1. (log 2 2 х – 1) (log 2 2 х + 1)= 15;

1. lg 2 х – lg х =0;.

1. log 3 х  log 4 х  log 5 х = log 3 х  log 4 х + log 3 х  log 5 х + log 4 х  log 5 х; (для сильных учеников).

Решение последнего примера : Заметим, что х = 1 является корнем уравнения.

Пусть х  1 , тогда обе части уравнения можно разделить на

Произведение log 3 х  log 4 х  log 5 х .

Получаем 1= 1/  log 5 х + 1/ log 4 х + 1/ log 3 х.

Используем свойства логарифма : log а в = 1/ log в а, получаем

log х 5 + log х 4 + log х 3 = 1 , log х 60 = 1 и х = 60 .

Ответ: 1; 60.

III. Домашнее задание: § 44, № 44.1- 44.17 (вариант 1 – а,в; вариант 2 – б,г).

При подготовке к уроку была использована следующая литература:

1. «Алгебра и начала анализа» 10- 11 кл. А.Г.Мордкович

(учебник и задачник) ; 10-е издание – М: Мнемозина 2009.

1. «Учимся решать уравнения и неравенства» 10-11кл.

Денищева Л.О., Карюхина Н.В. , Михеева Т.Ф. – М.: Интеллект – Центр, 1999 .

3 «Алгебра и начала анализа « 10 – 11 кл.Ш.А.Алимов

(учебник);М: - просвещение, 2008 г

Учитель математики школы № 42 г. Томска: Полуэктова Т.Е.