Что такое второй признак равенства треугольников. Третий признак равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 . Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 , изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А 1 В 1 лежат равные углы С и С 1 . Равенство треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1 . Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Так как ∠ А = ∠ А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и A 1 C 1 . Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 а сторона АС - со стороной А 1 C 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны ().

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» содержит доказательство теоремы, представляющей собой признак равенства двух треугольников по трем сторонам. Данная теорема является важной частью геометрии. Она часто используется для решения практических задач. Ее доказательство базируется на известных уже ученикам признаках равенства треугольников.

Доказательство данной теоремы сложое, поэтому для улучшения качества обучения, формирования умения доказывать геометрические утверждения желательно использовать данное наглядное пособие, которое поможет сконцентрировать внимание учеников на изучаемом материале. Также оно при помощи анимации, наглядной демонстрации построений и доказательства дает возможность улучшить качество обучения.

В начале урока демонстрируется название темы и формулируется теорема о том, что треугольники равны в случае, если все стороны одного треугольника попарно равны всем сторонам второго треугольника. Текст теоремы демонстрируется на экране и может быть записан учениками в тетрадь. Далее рассматривается доказательство данной теоремы.

Для доказательства теоремы строятся треугольники ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 . Из условия теоремы следует, что стороны попарно равны, то есть АВ=А 1 В 1 , ВС=В 1 С 1 и АС=А 1 С 1 . В начале доказательства демонстрируется наложение треугольника ΔАВС на ΔА 1 В 1 С 1 так, чтобы вершины А и А 1 , а также В и В 1 данных треугольников совместились. При этом вершины С и С 1 должны располагаться по разные стороны от наложенных сторон АВ и А 1 В 1 . При данном построении возможно несколько вариантов расположения элементов треугольников:

1. Луч С 1 С лежит внутри угла ∠А 1 С 1 В 1 .
2. Луч С 1 С совпадает с одной из сторон угла ∠А 1 С 1 В 1 .
3. Луч С 1 С лежит вне угла ∠А 1 С 1 В 1.

Каждый случай необходимо рассматривать отдельно, так как доказательство не может быть одинаковым для всех данных случаев. В первом случае рассматривается два треугольника, образованных в результате построения. Так как по условию в данных треугольниках стороны АС=А 1 С 1 , а ВС=В 1 С 1 , то получившиеся треугольники ΔВ 1 С 1 С и ΔА 1 С 1 Сравнобедренные. Используя изученное свойство равнобедренных треугольников, мы можем утверждать, что углы ∠1 и ∠2 равны между собой, а также ∠3 и ∠4 равны. Так как данные углы равны, то и в сумме ∠1 и ∠3, а также ∠2 и ∠4 также будут давать равные углы. Поэтому углы ∠С и ∠С 1 равны. Доказав данный факт, мы можем заново рассмотреть треугольники ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 , в которых стороны ВС=В 1 С 1 и АС=А 1 С 1 по условию теоремы, и доказано, что углы между ними ∠С и ∠С 1 также равны. Соответственно, данные треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников, который уже известен ученикам.

Во втором случае при наложении треугольников точки С и С 1 легли на одну прямую, проходящую через точку В(В 1). В сумме двух треугольников ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 получился треугольник ΔСАС 1 , в котором две стороны АС=А 1 С 1 по условию теоремы являются равными. Соответственно, данный треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике при равных сторонах лежат равные углы, поэтому можно утверждать, что углы ∠С=∠С 1 . Также из условия теоремы следует, что стороны ВС и В 1 С 1 равны между собой, поэтому ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 с учетом изложенных фактов равны между собой по первому признаку равенства треугольников.

Доказательство в третьем случае, аналогично первым двум, использует первый признак равенства треугольников. Построенная наложением треугольников геометрическая фигура при соединении отрезком вершин С и С 1 преобразуется в треугольник ΔВ 1 С 1 С. Данный треугольник является равнобедренным, так как его стороны В 1 С 1 и В 1 С по условию равны. А при равных сторонах в равнобедренном треугольнике углы ∠С и ∠С 1 также равны. Так как по условию теоремы равны стороны АС=А 1 С 1 , то углы при них в равнобедренном треугольнике ΔАСС 1 также равны. С учетом того, что углы ∠С и ∠С 1 равны, и углы ∠DCAи ∠DC 1 A равны между собой, то и углы ∠АСВ и ∠АС 1 В также равны. Учитывая данный факт, для доказательства равенства треугольников ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 можно использовать первый признак равенства треугольников, так как две стороны у данных треугольников равны по условия, а равенство углов между ними доказано в ходе рассуждений.

В конце видеоурока демонстрируется важное приложение третьего признака равенства треугольников - жесткость данной геометрической фигуры. На примере разъясняется, что значит данное утверждение. В качестве примера гибкой конструкции приводятся две рейки, соединенные гвоздем. Данные рейки могут быть раздвинуты и сдвинуты под любым углом. Если же к рейкам прикрепить еще одну, соединенную концами с имеющимися рейками, то мы получим жесткую конструкцию, в которой невозможно поменять угол между рейками. Получение треугольника с данными сторонами и другими углами невозможно. Это следствие теоремы имеет важное практическое значение. На экране изображаются инженерные конструкции, в которых применяется данное свойство треугольников.

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» облегчает учителю подачу нового материала на уроке геометрии по данной теме. Также видеоурок может с успехом использоваться для дистанционного обучения математике, поможет разобраться в сложностях доказательства ученикам самостоятельно.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN = PR ∡ N = ∡ R ∡ M = ∡ P

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так как MN = PR , то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

2. Так как ∡ N = ∡ R и ∡ M = ∡ P , то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть Δ MNK и Δ PRT полностью совместятся, значит они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN = PR KN = TR MK = PT

Опять попробуем совместить треугольники Δ MNK и Δ PRT наложением и убедится, что соответственно равные стороны гарантирует и равенство соответственных углов этих треугольников и они полностью совпадут.

Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и\(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.

Пусть \(O\) - середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN = PR , KN = TR . Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).

Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник - жёсткая фигура . Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.

Об этом говорят сказки.

Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросенка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.

Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».

Среди огромного количества многоугольников, которые по сути являются замкнутой непересекающейся ломаной линией, треугольник - это фигура с наименьшим количеством углов. Другими словами, это простейший многоугольник. Но, несмотря на всю свою простоту, эта фигура таит в себе много загадок и интересных открытий, которые освещаются особым разделом математики - геометрией. Эту дисциплину в школах начинают преподавать с седьмого класса, и теме «Треугольник» здесь уделяется особое внимание. Дети не только узнают правила о самой фигуре, но и сравнивают их, изучая 1, 2 и 3 признак равенства треугольников.

Первое знакомство

Один из первых правил, с которым знакомятся школьники, звучит примерно так: сумма величин всех углов треугольника равняется 180 градусам. Чтобы это подтвердить, достаточно при помощи транспортира измерить каждую из вершин и сложить все получившиеся значения. Исходя из этого, при двух известных величинах легко определить третью. Например : В треугольнике один из углов равен 70°, а другой - 85°, какова величина третьего угла?

180 - 85 - 70 = 25.

Ответ: 25°.

Задачи могут быть и более сложными, если указано лишь одно значение угла, а про вторую величину сказано лишь, на сколько или во сколько раз она больше или меньше.

В треугольнике для определения тех или иных его особенностей могут быть проведены особые линии, каждая из которых имеет свое название:

• высота - перпендикулярная прямая, проведенная из вершины к противоположной стороне;
• все три высоты, проведенные одновременно, в центре фигуры пересекаются, образуя ортоцентр, который в зависимости от вида треугольника может находиться как внутри, так и снаружи;
• медиана - линия, соединяющая вершину с серединой противолежащей стороны;
• пересечение медиан является точкой его тяжести, находится внутри фигуры;
• биссектриса - линия, проходящая от вершины до точки пересечения с противолежащей стороной, точка пересечения трех биссектрис является центром вписанной окружности.

Простые истины о треугольниках

Треугольники, как, собственно, и все фигуры, имеют свои особенности и свойства. Как уже говорилось, эта фигура является простейшим многоугольником, но со своими характерными признаками:

• против самой длинной стороны всегда лежит угол с большей величиной, и наоборот;
• против равных сторон лежат равные углы, пример тому - равнобедренный треугольник;
• сумма внутренних углов всегда равна 180°, что уже было продемонстрировано на примере;
• при продлении одной стороны треугольника за его пределы образуется внешний угол, который всегда будет равен сумме углов, с ним не смежных;
• любая из сторон всегда меньше суммы двух других сторон, но больше их разницы.

Виды треугольников

Следующий этап знакомства заключается в определении группы, к которой относится представленный треугольник. Принадлежность к тому или иному виду зависит от величин углов треугольника.

• Равнобедренный - с двумя равными сторонами, которые называют боковыми, третья в этом случае выступает основанием фигуры. Углы у основания такого треугольника одинаковы, а медиана, проведенная из вершины, является биссектрисой и высотой.
• Правильный, или равносторонний треугольник, - это тот, у которого все его стороны равны.
• Прямоугольный: один из его углов равен 90°. В этом случае сторона, противолежащая этому углу, называется гипотенузой, а две другие - катетами.
• Остроугольный треугольник - все углы меньше 90°.
• Тупоугольный - один из углов больше 90°.

Равенство и подобие треугольников

В процессе обучения не только рассматривают отдельно взятую фигуру, но и сравнивают два треугольника. И эта, казалось бы, простая тема имеет массу правил и теорем, по которым можно доказать что рассматриваемые фигуры - равные треугольники. Признаки равенства треугольников имеют такое определение: треугольники равны, если их соответствующие стороны и углы одинаковы. При таком равенстве, если наложить эти две фигуры друг на друга, все их линии сойдутся. Также фигуры могут быть подобными, в частности, это касается практически одинаковых фигур, отличающихся лишь величиной. Для того чтобы сделать такое заключение о представленных треугольниках, необходимо соблюдение одного из следующих условий:

• два угла одной фигуры равны двум углам другой;
• две стороны одного пропорциональны двум сторонам второго треугольника, а величины углов, образованных сторонами, равны;
• три стороны второй фигуры такие же, как и у первой.

Конечно, для бесспорного равенства, которое не вызовет ни малейшего сомнения, необходимо иметь одинаковые значения всех элементов обеих фигур, однако с использованием теорем задача значительно упрощается, и для доказательства равенства треугольников допускается наличие лишь нескольких условий.

Первый признак равенства треугольников

Задачи по этой теме решаются на основе доказательства теоремы, которая звучит так: "Если две стороны треугольника и угол, который они образуют, равны двум сторонам и углу другого треугольника, то и фигуры тоже равны между собой".

Как же звучит доказательство теоремы про первый признак равенства треугольников? Всем известно, что два отрезка равны, если они одной длины, или окружности равны, если имеют одинаковый радиус. А в случае с треугольниками есть несколько признаков, имея которые, можно предположить, что фигуры идентичны, что очень удобно использовать при решении разных геометрических задач.

Как звучит теорема «Первый признак равенства треугольников», описано выше, а вот ее доказательство:

• Допустим, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 имеют одинаковые стороны АВ и А 1 В 1 и, соответственно, ВС и В 1 С 1 , а углы, которые образуются этими сторонами, имеют одну и ту же величину, то есть равны. Тогда, наложив △ ABC на △ А 1 В 1 С 1, получим совпадение всех линий и вершин. Отсюда вытекает, что эти треугольники абсолютно идентичны, а значит, равны между собой.

Теорему «Первый признак равенства треугольников» называют еще «По двум сторонам и углу». Собственно, в этом и заключается ее суть.

Теорема о втором признаке

Второй признак равенства доказывается аналогично, доказательство основывается на том, что при наложении фигур друг на друга они полностью совпадают по всем вершинам и сторонам. А звучит теорема так: "Если одна сторона и два угла, в образовании которых она участвует, соответствуют стороне и двум углам второго треугольника, то эти фигуры идентичны, то есть равны".

Третий признак и доказательство

Если как 2, так и 1 признак равенства треугольников касался как сторон, так и углов фигуры, то 3-й относится лишь к сторонам. Итак, теорема имеет следующую формулировку: "Если все стороны одного треугольника равны трем сторонам второго треугольника, то фигуры идентичны".

Чтобы доказать эту теорему, нужно более детально углубиться в само определение равенства. По сути, что означает выражение «треугольники равны»? Идентичность говорит о том, что если наложить одну фигуру на другую, все их элементы совпадут, это может быть только в том случае, когда их стороны и углы будут равны. В то же время угол, противолежащий одной из сторон, которая такая же, как у другого треугольника, будет равен соответствующей вершине второй фигуры. Следует отметить, что в этом месте доказательство легко перевести на 1 признак равенства треугольников. В случае если такая последовательность не наблюдается, равенство треугольников просто невозможно, за исключением тех случаев, когда фигура является зеркальным отражением первой.

Прямоугольные треугольники

В строении таких треугольников всегда есть вершины с величиной угла 90°. Поэтому справедливы следующие утверждения:

• треугольники с прямым углом равны, если катеты одного идентичны катетам второго;
• фигуры равны, если равны их гипотенузы и один из катетов;
• такие треугольники равны, если их катеты и острый угол идентичны.

Этот признак относится к Для доказательства теоремы применяют приложение фигур друг к другу, в результате которого треугольники складывают катетами так, чтобы из двух прямых вышел со сторонами СА и СА 1 .

Практическое применение

В большинстве случаев на практике применяется первый признак равенства треугольников. На самом деле такая, казалось бы, простая тема 7 класса по геометрии и планиметрии используется и для вычисления длины, например, телефонного кабеля без замеров местности, по которой он будет проходить. При помощи этой теоремы легко сделать необходимые расчеты для определения длины острова, находящегося посреди реки, не переплывая на него. Либо укрепить забор, расположив планку в пролете так, чтобы она делила его на два равных треугольника, или же рассчитать сложные элементы работы в столярном деле, или при расчете стропильной системы крыши во время строительства.

Первый признак равенства треугольников имеет широкое применение в реальной «взрослой» жизни. Хотя в школьные годы именно эта тема для многих кажется скучной и совершенно ненужной.