Теорема равных треугольников. Третий признак равенства треугольников

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» содержит доказательство теоремы, представляющей собой признак равенства двух треугольников по трем сторонам. Данная теорема является важной частью геометрии. Она часто используется для решения практических задач. Ее доказательство базируется на известных уже ученикам признаках равенства треугольников.

Доказательство данной теоремы сложое, поэтому для улучшения качества обучения, формирования умения доказывать геометрические утверждения желательно использовать данное наглядное пособие, которое поможет сконцентрировать внимание учеников на изучаемом материале. Также оно при помощи анимации, наглядной демонстрации построений и доказательства дает возможность улучшить качество обучения.

В начале урока демонстрируется название темы и формулируется теорема о том, что треугольники равны в случае, если все стороны одного треугольника попарно равны всем сторонам второго треугольника. Текст теоремы демонстрируется на экране и может быть записан учениками в тетрадь. Далее рассматривается доказательство данной теоремы.

Для доказательства теоремы строятся треугольники ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 . Из условия теоремы следует, что стороны попарно равны, то есть АВ=А 1 В 1 , ВС=В 1 С 1 и АС=А 1 С 1 . В начале доказательства демонстрируется наложение треугольника ΔАВС на ΔА 1 В 1 С 1 так, чтобы вершины А и А 1 , а также В и В 1 данных треугольников совместились. При этом вершины С и С 1 должны располагаться по разные стороны от наложенных сторон АВ и А 1 В 1 . При данном построении возможно несколько вариантов расположения элементов треугольников:

1. Луч С 1 С лежит внутри угла ∠А 1 С 1 В 1 .
2. Луч С 1 С совпадает с одной из сторон угла ∠А 1 С 1 В 1 .
3. Луч С 1 С лежит вне угла ∠А 1 С 1 В 1.

Каждый случай необходимо рассматривать отдельно, так как доказательство не может быть одинаковым для всех данных случаев. В первом случае рассматривается два треугольника, образованных в результате построения. Так как по условию в данных треугольниках стороны АС=А 1 С 1 , а ВС=В 1 С 1 , то получившиеся треугольники ΔВ 1 С 1 С и ΔА 1 С 1 Сравнобедренные. Используя изученное свойство равнобедренных треугольников, мы можем утверждать, что углы ∠1 и ∠2 равны между собой, а также ∠3 и ∠4 равны. Так как данные углы равны, то и в сумме ∠1 и ∠3, а также ∠2 и ∠4 также будут давать равные углы. Поэтому углы ∠С и ∠С 1 равны. Доказав данный факт, мы можем заново рассмотреть треугольники ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 , в которых стороны ВС=В 1 С 1 и АС=А 1 С 1 по условию теоремы, и доказано, что углы между ними ∠С и ∠С 1 также равны. Соответственно, данные треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников, который уже известен ученикам.

Во втором случае при наложении треугольников точки С и С 1 легли на одну прямую, проходящую через точку В(В 1). В сумме двух треугольников ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 получился треугольник ΔСАС 1 , в котором две стороны АС=А 1 С 1 по условию теоремы являются равными. Соответственно, данный треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике при равных сторонах лежат равные углы, поэтому можно утверждать, что углы ∠С=∠С 1 . Также из условия теоремы следует, что стороны ВС и В 1 С 1 равны между собой, поэтому ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 с учетом изложенных фактов равны между собой по первому признаку равенства треугольников.

Доказательство в третьем случае, аналогично первым двум, использует первый признак равенства треугольников. Построенная наложением треугольников геометрическая фигура при соединении отрезком вершин С и С 1 преобразуется в треугольник ΔВ 1 С 1 С. Данный треугольник является равнобедренным, так как его стороны В 1 С 1 и В 1 С по условию равны. А при равных сторонах в равнобедренном треугольнике углы ∠С и ∠С 1 также равны. Так как по условию теоремы равны стороны АС=А 1 С 1 , то углы при них в равнобедренном треугольнике ΔАСС 1 также равны. С учетом того, что углы ∠С и ∠С 1 равны, и углы ∠DCAи ∠DC 1 A равны между собой, то и углы ∠АСВ и ∠АС 1 В также равны. Учитывая данный факт, для доказательства равенства треугольников ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 можно использовать первый признак равенства треугольников, так как две стороны у данных треугольников равны по условия, а равенство углов между ними доказано в ходе рассуждений.

В конце видеоурока демонстрируется важное приложение третьего признака равенства треугольников - жесткость данной геометрической фигуры. На примере разъясняется, что значит данное утверждение. В качестве примера гибкой конструкции приводятся две рейки, соединенные гвоздем. Данные рейки могут быть раздвинуты и сдвинуты под любым углом. Если же к рейкам прикрепить еще одну, соединенную концами с имеющимися рейками, то мы получим жесткую конструкцию, в которой невозможно поменять угол между рейками. Получение треугольника с данными сторонами и другими углами невозможно. Это следствие теоремы имеет важное практическое значение. На экране изображаются инженерные конструкции, в которых применяется данное свойство треугольников.

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» облегчает учителю подачу нового материала на уроке геометрии по данной теме. Также видеоурок может с успехом использоваться для дистанционного обучения математике, поможет разобраться в сложностях доказательства ученикам самостоятельно.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 . Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Так, например, в равных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 , изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А 1 В 1 лежат равные углы С и С 1 . Равенство треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1 . Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.2).

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Так как ∠ А = ∠ А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и A 1 C 1 . Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 а сторона АС - со стороной А 1 C 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).

Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.

Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.

Из последней теоремы вытекает теорема 4.

Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны ().

Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 4)

∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В?

Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?

Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные), АО = ОВ, СО = OD (по условию).
Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , ∠A = ∠A 1 , ∠B = ∠B 1 (рис. 68). Докажем, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

Рис. 68

Наложим треугольник АВС на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , сторона АВ - с равной ей стороной AjBj, и вершины С и С 1 оказались по одну сторону от прямой А 1 В 1 .

Так как ∠A = ∠A 1 и ∠B = ∠B 1 , то сторона АС, наложится на луч А 1 С 1 , а сторона ВС - на луч В 1 С 1 . Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А 1 С 1 , так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной С 1 . Значит, совместятся стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 .

Итак, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1 , СА = С 1 А 1 (рис. 69).

Рис. 69

Докажем, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 . Приложим треугольник АВС к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В - с вершйной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 B 1 (рис. 70).

Рис. 70

Возможны три случая: луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. 70, а); луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 70, б); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. 70, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

Так как по условию теоремы стороны АС и А 1 С 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные (см. рис. 70, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . Итак, АС = А 1 С 1 , ВС = В 1 С 1 , ∠C = ∠C 1 .

Следовательно, треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура . Поясним, что это означает.

Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздём (рис. 71, а). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмём ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 71, б).

Рис. 71

Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Это свойство - жёсткость треугольника - широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. 72, а); такой же принцип используется при установке кронштейна (рис. 72, б).

Рис. 72

Задачи

121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC.

а) Докажите, что Δ СВО = Δ DAO;
б) найдите ВС и СО, если CD = 26 см, AD = 15 см.

122. На рисунке 53 (см. с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

а) Докажите, что Δ АВС = Δ CDA;
б) найдите АВ и ВС, если АО =19 см, CD = 11 см.

123. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла - точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.

124. По данным рисунка 73 докажите, что ОР = ОТ, ∠P = ∠T.

Рис. 73

125. На рисунке 74 ∠DAC = ∠DBC, АО = ВО. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.

Рис. 74

126. На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС =13 см. Найдите BD.

127. В треугольниках АВС и А 1 B 1 С 1 АВ = А 1 В 1 , ВС = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 . На сторонах АВ и A 1 B 1 отмечены точки D и D 1 так, что ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Докажите, что Δ BCD = Δ B 1 C 1 D 1 .

128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

129. Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка АС, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что Δ ВОА = Δ DOC.

130. В треугольниках АВС и A 1 В 1 С 1 отрезки СО и С 1 О 1 - медианы, BC = B 1 C 1 , ∠B - ∠B 1 и ∠C = ∠C 1 . Докажите, что:

а) Δ АСО = Δ А 1 С 1 О 1 ;
б) Δ ВСO = Δ В 1 С 1 O.

131. В треугольниках DEF и MNP EF - NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N - в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN - равнобедренный.

133. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник - равнобедренный.

134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

136. На рисунке 52 (см. с. 31) АВ-АС, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD.

137. На рисунке 53 (см. с. 31) BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D.

138. На рисунке 75 AB = CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.

Рис. 75

139. На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, BE - биссектриса угла ABC, a DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что:

а) ∠ABE = ∠ADF;
б) Δ АВЕ = Δ CDF.

Рис. 76

140. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 медианы ВМ и В 1 М 1 равны, АВ = А 1 В 1 АС = А 1 С 1 . Докажите, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

141. В треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 отрезки AD и A 1 D 1 - биссектрисы, АВ = А 1 В 1 , BD = B 1 D 1 и AD = A 1 D 1 . Докажите, что Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 .

142. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Ответы к задачам

121. б) ВС = 15 см, СО = 13 см.

122. б) АВ = 11 см, ВС =19см.

142. Указание. Рассмотреть два случая. Точка В лежит: а) на луче АО; б) на продолжении луча АО.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN = PR ∡ N = ∡ R ∡ M = ∡ P

Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?

1. Так как MN = PR , то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.

2. Так как ∡ N = ∡ R и ∡ M = ∡ P , то лучи \(MK\) и \(NK\) наложатся соответственно на лучи \(PT\) и \(RT\).

3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения \(K\) и \(T\).

4. Совмещены все вершины треугольников, то есть Δ MNK и Δ PRT полностью совместятся, значит они равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

MN = PR KN = TR MK = PT

Опять попробуем совместить треугольники Δ MNK и Δ PRT наложением и убедится, что соответственно равные стороны гарантирует и равенство соответственных углов этих треугольников и они полностью совпадут.

Совместим, например, одинаковые отрезки \(MK\) и\(PT\). Допустим, что точки \(N\) и \(R\) при этом не совмещаются.

Пусть \(O\) - середина отрезка \(NR\). Соответственно данной информации MN = PR , KN = TR . Треугольники \(MNR\) и \(KNR\) равнобедренные с общим основанием \(NR\).

Поэтому их медианы \(MO\) и \(KO\) являются высотами, значит перпендикулярны \(NR\). Прямые \(MO\) и \(KO\) не совпадают, так как точки \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на одной прямой. Но через точку \(O\) прямой \(NR\) можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Доказано, что должны совместиться и вершины \(N\) и \(R\).

Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник - жёсткая фигура . Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.

Но своеобразную устойчивость, стабильность и совершенство числа \(3\) люди оценивали и выделяли давно.

Об этом говорят сказки.

Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросенка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.

Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».

1) по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 угол A равен углу А 1 , АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 . Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы угол A совместился с углом A 1 . Так как АВ=А 1 В 1 , а АС=А 1 С 1 , то B совпадёт с В 1 , а C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство:

ПустьАВС и А 1 В 1 С 1 - два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, угол А равен углу А 1 , и угол В равен углу В 1 . Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы AB совпало с A 1 B 1. Так как ∠ВАС =∠В 1 А 1 С 1 и ∠АВС=∠А 1 В 1 С 1 , то луч АС совпадёт с А 1 С 1 , а ВС совпадёт с В 1 С 1 . Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

3) по трём сторонам

Доказательство :

Рассмотрим треугольники ABC и A l B l C 1, у которых АВ=А 1 В 1 , BC = B l C 1 СА=С 1 А 1. Докажем, что ΔАВС =ΔA 1 B 1 C 1 .

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A 1 , вершина В — с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 , оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1 . Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С 1 С про-ходит внутри угла А 1 С 1 В 1 . Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники A 1 C 1 C и В 1 С 1 С — равнобедренные . По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , C 1 BC - равнобедренный , ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

3) Луч C 1 C проходит вне угла А 1 С 1 В 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ∠C=∠C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A n провести прямую и к ней параллельные через точки A 1 - A n -1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB 2 B 1 A 1 и CD 2 D 1 C 1 . Согласно свойству параллелограмма : AB 2 = A 1 B 1 и CD 2 = C 1 D 1 .

2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB 1 и DD 1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB 2 = CD 2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1