Как найти объем параллелепипеда формула. Как найти объем параллелепипеда

Урок математики в 5 классе. (Виленкин)

Тема: Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Цель: 1. Закрепить знания по данной теме при решении задач. Подготовить к контрольной работе. Дать соотношение единиц измерения объема.

2. Повторить свойства умножения, упрощение выражений, части параллелепипеда.

3. Воспитывать экологический аспект, внимание.

Оборудование: на доске: тема, задание для устного счета; раздаточный материал: модели параллелепипеда, куба, спичечный коробок; у детей: шпаргалки, линейки, сигнальные двухцветные круги,

Ход урока.

Организационный момент.

Добрый день, веселый час, математика у нас. На парте: линейки, шпаргалки, тетради, учебники.

Устный счет (разминка) № 806 – по рядам «цепочкой»,

— примени распределительное свойство умножения:

(х + 8) 20 на доске

247 123 – 147 123

— упрости:

20а – 19а 4х + х – 2х

13в — в 27 + 13в – 10в

Сообщение темы и цели.

— С какими геометрическими фигурами познакомились? Сегодня повторим, как найти объем прямоугольного параллелепипеда и единицы измерения объема. Готовимся к контрольной работе.

IV . Повторение изученного. Модели куба,

— Показать верхнюю, заднюю, нижнюю и переднюю грани. параллелепипеда

— Показать две грани, имеющие общее ребро,

— Показать вертикальные ребра.

(показывают одновременно 2, 3 ученика)

Игра «Да — нет»

— Любой куб является прямоугольным параллелепипедом (+) сигнальные

— У прямоугольного параллелепипеда 10 вершин (-, 8) круги

— 6 граней (+) — 12 ребер (+)

— Каждая грань куба – квадрат (+)

— Если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом (+)

— Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (+)

Найди формулу.

— вычисли объем спичечного коробка, куба, параллелепипеда. наглядность

— дополнительный материал «Сколько воздуха необходимо человеку для дыхания»

При каждом вдохе человек вводит в свои легкие за 1 минуту 9 литров воздуха. Это составляет в час 9 * 60, т. е. 540 литров. Округлим до 500 литров или половины кубического метра и узнаем, что за сутки человек вдыхает 12 м³ воздуха. Такой объем равен 14 кг.

За одни сутки человек проводит через свое тело больше воздуха, чем пищи: никто не съедает и 3 кг в сутки, вдыхаем же мы 14 кг. Если учесть, что вдыхаемый воздух состоит на 4/5 из бесполезного для дыхания азота, то кажется, что наше тело потребляет всего 3 кг, т. е. примерно столько же, сколько пищи (твердой и жидкой).

Нужно ли другое доказательство необходимости обновлять воздух в жилой комнате?

— № 804, 801 – на доске,

— Как вычислить объем параллелепипеда, куба?

— В каких единицах измеряется объем?

VI . Соотношение единиц измерения объема. «шпаргалки» Записать в «шпаргалки». форзац

— Игра «Слабое звено» — № 802,

— Задание на карточках.

— Вырази в кубических см:

6 дм³, 287 дм³

5 дм³ 23 см³ 16000 мм³

5 дм³ 635 см³ 2 дм³ 80 см³

— Вырази в кубических дм:

6м³ 580см³ 7м³ 15дм³

VII . Повторение изученного. № 808

VIII . Итог: — Что запомнили с урока?

— Кто поработал на 5? на 4?

IX . Домашнее задание : § 21, № 822 (а, б), № 823.

Математика
5 класс

21. Объёмы.

Если наполнять формочку влажным песком, а потом переворачивать и снимать её, получатся фигуры, имеющие одинаковый объём (рис. 83). Если формочку наполнять водой, то объём воды будет равен объёму каждой фигуры из песка.

Рис. 83

Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объёмы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объём больше объёма второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объём первого сосуда меньше объёма второго.

Для измерения объёмов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм3), кубический метр (м3), кубический километр (км3).

Например: кубический сантиметр - это объём куба с ребром 1 см (рис. 84).

Рис. 84

Кубический дециметр называют также литром.

Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, её объём равен 4 см3.

Рис. 85

Выведем правило для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

Формулы объемов параллелепипеда и куба

Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьём его на два слоя толщиной 1 см (рис. 86, б). Каждый из этих слоёв состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, в), а каждый столбик - из 4 кубиков с ребром 1 см. (рис. 86, г). Значит, объём каждого столбика равен 4 см3, каждого слоя - 4 3 (см3), а всего прямоугольного параллелепипеда - (4 3) 2, то есть 24 см3.

Рис. 86

Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид

где V - объём; а, Ь, с - измерения.

Если ребро куба равно 4 см, то объём куба равен 4 4 4 = 43 (см3), то есть 64 см3.

Если ребро куба равно а, то объём V куба равен a a a = a3.

Значит, формула объёма куба имеет вид

Именно поэтому запись а3 называют кубом числа а.

Объём куба с ребром 1 м равен 1 м3. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м3 = 103 дм3, то есть 1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л.

Таким же образом находим, что

1 л = 1 дм3 = 1000 см3; 1 см3 = 1000 мм3;

1 км3 = 1 000 000 000 м3 (см. рисунок).

Вопросы для самопроверки

• Фигура состоит из 19 кубиков со стороной 1 см каждый; чему равен объём этой фигуры?
• Что такое кубический сантиметр; кубический метр?
• Как ещё называют кубический дециметр?
• Скольким кубическим сантиметрам равен 1 литр?
• Скольким литрам равен кубический метр?
• Сколько кубических метров в кубическом километре?
• Напишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.
• Что означает в этой формуле буква V; буквы а, Ь, с?
• Напишите формулу объёма куба.

Выполните упражнения

819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объёмы и площади поверхностей этих фигур.

Рис. 87

820. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

• а) а = 6 см, b = 10 см, с = 5 см;
• б) а = 30 дм, b = 20 дм, с = 30 дм;
• в) а = 8 дм, b = 6 м, с = 12 м;
• г) a = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см;
• д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.

821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объём равен 96 см3.

822. Объём комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.

823. Найдите объём куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.

824. Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.

825. Выразите:

• а) в кубических сантиметрах: 5 дм3 635 см3; 2 дм3 80 см3;
• б) в кубических дециметрах: 6 м3 580 дм3; 7 м3 15 дм3;
• в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм3; 12 540 000 см3.

826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?

827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.

Рис. 88

829. Вычислите устно:

830. Восстановите цепочку вычислений:

831. Найдите значение выражения:

• а) 23 + З2;
• б) 33 + 52;
• в) 43 + 6;
• г) 103 — 10.

832. Сколько десятков получится в частном:

• а) 1652: 7;
• б) 774: 6;
• в) 1632: 12;
• г) 2105: 5?

833. Согласны ли вы с утверждением:

• а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом;
• б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом;
• в) каждая грань куба - квадрат?

834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 вёдер воды. Сколько вёдер воды могут вместить 10 таких бочек?

835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застёжкой)?

836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89):

• а) две грани, имеющие общее ребро;
• б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани;
• в) вертикальные рёбра.

Рис. 89

837. Решите задачу:

1. Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого.
2. Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.

838. Выполните действия:

1. 668 (3076 + 5081);
2. 783 (66 161 — 65 752);
3. 2 111 022: (5960 — 5646);
4. 2 045 639: (6700 — 6279).

839. На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объёма ведро (около 12 л), штоф (десятая часть ведра), в США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), гяллон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы. Какие из них больше 1 м3?

840. Найдите объёмы фигур, изображённых на рисунке 90. Объём каждого кубика равен 1 см3.

Рис. 90

841. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда (рис. 91).

Рис. 91

842. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения - 48 дм, 16 дм и 12 дм.

843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц.

844. Выразите в кубических дециметрах:

• 2 м3 350 дм3;
• 3 м3 7 дм3;
• 4 м3 30 дм3;
• 18 000 см3;
• 210 000 см3.

845. Объём прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.

846. С помощью формулы V = abc вычислите:

• а) V, если а — 3 дм, b = 4 дм, с = 5 дм;
• б) а, если V = 2184 см3, b = 12 см, с = 13 см;
• в) b, если V = 9200 см3, а = 23 см, с = 25 см;
• г) аb, если V = 1088 дм3, с = 17 см.

Каков смысл произведения ab?

847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую - возраст отца - через b - возраст сына. Найдите по этой формуле:

• а) а, если b = 10;
• б) а, если b = 18;
• в) b, если а = 48.

848. Найдите значение выражения:

• а) 700 700 — 6054 (47 923 — 47 884) — 65 548;
• б) 66 509 + 141 400: (39 839 — 39 739) + 1985;
• в) (851 + 2331) : 74 — 34;
• г) (14 084: 28 — 23) 27 — 12 060;
• д) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
• е) 2555: (132 + 142) + 35.

849. Подсчитайте по таблице (рис. 92):

• а) сколько раз встречается цифра 9;
• б) сколько всего раз в таблице встречаются цифры 6 и 7 (не считая их по отдельности);
• в) сколько всего раз встречаются цифры 5, 6 и 8 (не считая их по отдельности).

Рис. 92

Рассказы об истории возникновения и развития математики

200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения.

Например, и до сих пор в Великобритании существуют две различные «тонны» (в 2000 и в 2940 фунтов), более 50 различных «бушелей» и т. п. Это затрудняло развитие науки, торговли между странами, поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами.

Такая система - её назвали метрической системой мер - была разработана во Франции. Основную единицу длины, 1 метр (от греческого слова «метрон» - мера), определили как сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу массы, 1 килограмм - как массу 1 дм3 чистой воды. Остальные единицы определялись через эти две, соотношения между единицами одной величины равнялись 10, 100, 1000 и т. д.

Метрическая система мер принята большинством стран мира, в России её введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу Менделееву, великому русскому химику.

Однако по традиции и в настоящее время иногда пользуются старыми единицами. моряки измеряют расстояния милями (1852 м) и кабельтовыми (десятая часть мили, то есть около 185 м), скорость - узлами (1 миля в час). Массу алмазов измеряют в каратах (200 мг, то есть пятая часть грамма - масса пшеничного зерна). Объём нефти измеряют в баррелях (159 л) и т. д.

Это можно осуществить разными способами, все зависит от того, какие величины и предметы мы имеем.

Итак, способ первый, который подходит исключительно для прямоугольного параллелепипеда.

Для определения объема параллелепипеда Вам потребуется его высота, ширина и длина.

Поскольку параллелепипед образуют прямоугольники, давайте отметим длину и ширину их буквами а и b соответственно. Тогда площадь прямоугольника будет рассчитана как а*b.

Высотой параллелепипеда называют высоту бокового ребра, и поскольку высота является величиной постоянной, для нахождения объема нужно площадь основания параллелепипеда умножить на высоту. Это выражается следующей формулой: V = а*b*с = S*с, где с – это высота.

Рассмотри м на примере. Допустим, у нас имеется параллелепипед с длиной и шириной основания 5 и 8 см, а его высота составляет 11 см. Необходимо вычислить объем.

Находим площадь основания: 5*8=40 кв. см. Теперь полученное значение умножаем на высоту 40*11=440 куб. см – это объем фигуры.

Второй способ.

Поскольку основанием параллелепипеда является геометрическая фигура параллелограмм, нужно определить его площадь. Для нахождения площади параллелограмма в зависимости от известных данных можно использовать следующие формулы:

• S = а*h, где а является стороной параллелограмма, h – высотой проведенной к а.
• S = а*b*sinα, где а и b это сторона фигуры, α – угол между этими сторонами.

После того. как Вы разобрались. Как найти площадь параллелограмма, можно приступить к нахождению объема нашего параллелепипеда. Для этого используем формулу:

V = S*h, где S – это полученная ранее площадь основания, h – высота нашего параллелепипеда.

Рассмотрим пример.

Нам дан параллелепипед с высотой 50см, основание (параллелограмм) которого имеет сторону равную 23 см и высоту, проведенную именно к этой стороне – 8 см. Подставляем вышеуказанную формулу:

S = 23*8 = 184 кв. cм.

Теперь подставляем формулу для нахождения объема параллелепипеда:

V = 184*50 = 9 200 куб.

Урок математики ‘Объём прямоугольного параллелепипеда’ (5 класс)

Ответ: объем данного параллелепипеда 9200 кубических сантиметров.

Третий способ.

Этот вариант подойдет только для прямоугольного типа параллелепипеда, стороны, основания которого будут равны. Для этого Вам потребуется всего лишь возвести в куб данные стороны.

V = а3, т.е. возведенное в куб.

Дан параллелепипед со стороной основания 12. Значит, объем данной фигуры вычисляется по следующей формуле V = 123 = 1728 куб. см.

Любой из способов является очень простым. Главное вооружиться калькулятором и правильно выполнить все расчеты. Удачи!

объём прямоугольного параллелепипеда

S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

Основание параллелепипеда

Калькулятор вычислит и распишет решение подробно и с комментариями. Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.

Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов!

Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.

прямоугольный параллелограмм

Формула используемая в нашем калькуляторе найдёт объём прямоугольного параллелепипеда . А если ваш параллелепипед имеет косые грани, вместо длины соответствующего косого ребра — необходимо ввести значение высоты этой части фигуры.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда

Чтобы его найти, необходимо знать размеры рёбер: высоту, ширину и длину. По формуле, размеры граней параллелепипеда необходимо перемножить в произвольном порядке.

Объём можно представить в литрах или куб.см., кубических миллиметрах.

Формула площади поверхности параллелепипеда

S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

По формуле площади параллелепипеда необходимо найти площади всех сторон параллелепипеда, а затем их сложить. Противоположные стороны, грани, и рёбра параллелепипеда равны между собой, по этому при вычислении площадей можно применять умножение на два.

Основание параллелепипеда

В некоторых случаях бывает известна площадь основания параллелепипеда, тогда для того, что бы найти объём достаточно площадь основания умножить на высоту. ! ВАЖНО! — это верно, только для прямоугольного параллелепипеда.

Как найти объём параллелепипеда?

Проще всего найти объём введя три известных значения в графы онлайн калькулятора объёма! Затем — нажми на кнопу — получишь результат)!

Калькулятор вычислит объём параллелепипеда abcda1b1c1d1 и распишет решение подробно и с комментариями.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.

Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов! Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.

Параллелограмм это объёмная геометрическая фигура, имеющая шесть сторон, каждая из сторон при этом параллелограмм. Стороны параллелограмма обычно называются гранями. Если все грани параллелепипеда имеют форму прямоугольника — то это уже прямоугольный параллелограмм ! Обозначается эта фигура буквами abcda1b1c1d1.

Познавательные УУД:

Выражают структуру задачи разными средствами.

Выбирают, сопоставляют и обосновывают способы решения задачи.

Регулятивные УУД:

Сличают способ и результат своих действий с заданным эталоном,

Обнаруживают отклонения и отличия от эталона.

Коммуникативные УУД:

С достаточной полнотой и точностью выражают свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации

Предметный результат:

Определяют вид пространственных фигур. Вычисляют объемы куба и прямоугольного параллелепипеда, используя формулы объема куба и прямоугольного параллелепипеда.

ХОД УРОКА:

Организационный момент (проверка готовности классного помещения и обучающихся к уроку) (слайд 1-2) . (1 мин)

Мотивация урока (слайд 3) (1 мин)

Встали тихо, замолчали,

Всё, что нужно, вы достали.

Приготовились к уроку,

В нём иначе нету проку.

Здравствуйте, садитесь,

Больше не вертитесь.

Мы урок начнем сейчас,

Интересен он для вас.

Слушай всё внимательно,

Поймешь всё обязательно.

Формулирование темы урока: (3 мин)

Я рада вас видеть. Мы начинаем наш урок. Я хочу, чтобы этот урок принес вам новые открытия, и надеюсь, что вы с успехом будете применять имеющиеся у вас знания в решении практических задач. Я предлагаю вам отгадать задуманное мною слово, которое будет ключевым словом нашего урока.

Актуализация опорных знаний: (слайд 4)

Чтобы слово вам назвать придется немного посчитать и расставить величины по возрастанию:

250+433 – 600=

(83)

(80)

Найдите расстояние используя данные:

(12)

(10)

Найдите площадь фигуры:

(24)

Молодцы. Тема нашего сегодняшнего урока «Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда».

Откройте тетради запишите сегодняшнее число, тему урока, слова классная работа.

Домашнее задание: (слайд 6) (1 мин)

№ 843, №844, №848 (б)

Откройте учебник с. 125-126, подготовьтесь отвечать на мои вопросы: (слайд 7-8) (3 мин)

Как вы понимаете слово «Объем»?

Какие единицы измерения объема вы знаете? (мм 3 , дм 3 , см 3 , м 3 , км 3 )

Как еще называют кубический дециметр? (литр)

Как вычислить объем прямоугольного параллелепипеда? (Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда надо длину умножить на ширину и на высоту ).

Какой вид имеет формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда? (где V – объем , a,b,c - измерения).

Как вы думаете, что означает произведение a и b, в данной формуле? (площадь основания) ()

Что вы можете сказать об объеме куба? ()

Молодцы, с вопросами вы успешно справились.

Выполнение упражнений: (слайд 9-11) (8 мин)

№ 822

Объем комнаты равен 60 м 2 . Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка и стен.

О чем говорится в задаче?

Какую форму имеет комната?

V =60 м 2 , с =3 м, b =4 м. Чтобы найти длину комнаты надо:

Длина комнаты;

Чтобы найти площадь пола, надо длину умножить на ширину: . Площадь потолка будет равна площади пола, т.к они противоположны, т.е. площадь потолка равна.

Чтобы найти площадь стен, надо длину умножить на высоту, и ширину умножить на высоту: , затем вспомним что стены противоположны, т.е 2 стены по 15 м 2 , и 2 стены по 12 м 2 . Тогда площадь стен:

№ 825 (а, б)

а) выразите в кубических сантиметрах:

б) выразите в кубических дециметрах:

Задача. Вычислить объем куба со стороной 15 см. Ответ выразите в дециметрах кубических.

Историческая справка: (1 мин 30 сек)

Слова учителя.

Вопрос измерения объема твердых тел давно интересовал человечество. Используя тот факт, что жидкости в обычных условиях сжимать нельзя, можно измерять объемы твердых тел, помещая их в жидкость.

Архимед был первым, кто открыл этот способ взвешивания.

(Слайд 12 – видеоролик.)

Развивая эти идеи, Архимед нашел закон плавания тел: тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Поэтому, если вес вытесненной жидкости больше веса самого тела, то оно всплывает.

и немного разомнемся:

Физкультминутка (слайд 13) (1 мин)

Самостоятельная работа по вариантам, с последующей взаи мопроверкой). (10 мин.) (слайд 14 )

I-й вариант.

а ) S=vt;

б ) V=abc;

в ) P=2 (a+b);

г) V= 4a

2. Чему равен объем куба, если его ребро равно 5 см? (125 см 3 )

3. Какова длина сторона квадрата, если его площадь равна 100 см 2 ? (10 см)

II-й вариант

1. Укажите формулу, по которой находят объем прямоугольного параллелепипеда

а ) S=vt;

б ) V=ab;

в ) P=2 (a+b);

г) V = S осн с.

2. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 5 см, 12 см и 4 см? (240 см 3 )

3. Чему равна площадь квадрата со стороной 6 см? (36 см 2 )

Для проверки учащиеся обмениваются тетрадями с соседом для проверки и выставления оценки, сверяясь с экраном

Рефлексия: (3 мин)

Каждый обучающийся заносит оценки в свой зачетный лист:

Фамилия, имя ____________________________________

Объем параллелепипеда

Величина объема дает нам представление о том, какую часть пространства занимает интересующий нас объект, а чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда нужно умножить его площадь основания на высоту.

В повседневной жизни, чаще всего для измерения объема жидкости, как правило, используют такую измерительную единицу, как литр = 1дм3.

Кроме этой единицы измерения для определения объема применяют:

Параллелепипед относится к простейшим трехмерным фигурам и поэтому найти его объем не представляет никаких сложностей.

Объем параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. Т.е. для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, достаточно умножить все его три измерения.

Чтобы найти объем куба, нужно взять его длину и возвести в третью степень.

Определение параллелепипеда

А теперь давайте вспомним, что же такое параллелепипед и чем он отличается от куба.

Параллелепипедом называют такую объемную фигуру, в основании которой лежит многоугольник. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые являются гранями данного параллелепипеда. Поэтому логично, что параллелепипед имеет шесть граней, которые состоят из параллелограммов. Все грани этого многоугольника, которые расположены друг против друга, имеют одинаковые размеры.

Все ребра параллелепипеда и есть сторонами граней. А вот точки соприкосновения граней являются вершинами данной фигуры.

Задание:

1. Посмотрите внимательно на рисунок и скажите, что она вам напоминает?
2. Подумайте и дайте ответ, где в повседневной жизни вы можете столкнуться с такой фигурой?
3. Сколько ребер имеет параллелепипед?

Разновидности параллелепипедов

Параллелепипеды делятся на несколько разновидностей, таких как:

Прямоугольный;
Наклонный;
Куб.

К прямоугольным параллелепипедам относятся те фигуры, у которых грани состоят из прямоугольников.

Если же боковые грани не являются перпендикулярными его основанию, то перед вами наклонный параллелепипед.

Такая фигура, как куб, также является параллелепипедом. Его все без исключения грани имеют форму квадратов.

Свойства параллелепипеда

Изучаемая фигура имеет ряд свойств, о которых мы сейчас с вами узнаем:

Во-первых, противоположные грани этой фигуры равны и параллельны друг другу;

Во-вторых, он симметричен лишь относительно средины любой без исключения своей диагонали;

В-третьих, если взять и провести диагонали между всеми противоположными вершинами параллелограмма, то у них окажется всего одна точка пересечения.

В-четвертых, квадрат длинны его диагонали, равен сумме квадратов 3-х его измерений.

Историческая справка

За период разных исторических эпох в разных странах использовали различные системы измерения массы, длины и других величин. Но так как это затрудняло торговые отношения между странами, а также тормозило развитие наук, то появилась необходимость иметь единую международную систему мер, которая была бы удобна для всех стран.

Метрическая система мер СИ, которая устраивала большинство стран, была разработана во Франции. Благодаря Менделееву метрическая система мер была внедрена и в России.

Но многие профессии по сей день используют свои специфические метрики, иногда это дань традициям, иногда вопрос удобства. Так, например, моряки все еще предпочитают измерять скорость в узлах, а расстояние в милях – для них это традиция. А вот ювелиры всего мира отдают предпочтение такой единице измерения, как карат – и в их случае это и традиция и удобство.

Вопросы:

1. А кто знает, сколько метров в одной миле? А что такое один узел?
2. Почему единица измерения алмазов называется «карат»? Почему ювелирам исторически удобно измерять массу в таких единицах?
3. А кто помнит, в каких единицах измеряется нефть?

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Фигуры на рисунке 175, а и б состоят из равного количества одинаковых кубиков. О таких фигурах можно сказать, что их объемы равны. Прямоугольные параллелепипеды, изображенные на рисунке 175, в и г, состоят соответственно из 18 и 9 одинаковых кубиков. Поэтому можно сказать, что объем первого из них в два раза больше объема второго.

С такой величиной, как объем, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: объем топливного бака, объем бассейна, объем классной комнаты, показатели потребления газа или воды на счетчиках и т.д.

Опыт подсказывает вам, что одинаковые емкости имеют равные объемы. Например, одинаковые бочки имеют равные объемы.

Если емкость разделить на несколько частей, то объем всей емкости равен сумме объемов ее частей. Например, объем двухкамерного холодильника равен сумме объемов его камер.

Эти примеры иллюстрируют следующие свойства объема фигуры .

1 ) Равные фигуры имеют равные объемы.

2 ) Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

Как и в случаях с другими величинами (длина, площадь), следует ввести единицу измерения объема.

За единицу измерения объема выбираю куб, ребро которого равно единичному отрезку. Такой куб называют единичным .

кубическим миллиметром . Пишут 1 мм 3 .

Объем куба с ребром 1 см называю кубическим сантиметром . Пишут 1 см 3 .

Объем куба с ребром 1 мм называю кубическим дециметром . Пишут 1 дм 3 .

При измерении объемов жидкостей и газов 1 дм 3 называют литром . Пишут: 1 л. Итак, 1 л = 1 дм 3 .

Если объем красного кубика (см. рис. 175, д) принять за единицу, то объемы фигур на рисунке 175, а, б, в и г соответственно равны 5, 5, 18 и 9 кубических единиц.

Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 5 см, 6 см, 4 см, то этот параллелепипед можно разделить на 5 * 6 * 4 единичных кубов (рис. 176 ). Поэтому его объем равен 5 * 6 * 4 = 120 см 3 .

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

V = abc

где V − объем, a, b, и c − измерения прямоугольного параллелепипеда, выраженные в одних и тех же единицах.

Поскольку у куба все ребра равны, то его объем вычисляют по формуле:

V = a 3

где a − длина ребра куба. Именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.

Произведение длины a и ширины b прямоугольного параллелепипеда равно площади S его основания: S = ab (рис. 177 ). Обозначим высоту прямоугольного параллелепипеда буквой h. Тогда объем V прямоугольного параллелепипеда равен V = abh .

V = abh = (ab)h = Sh .

Итак, мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:

V = Sh

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пример. Какой должна быть высота бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем составлял 324 дм 3 , а площадь дна − 54 дм 2 ?

Решение. Из формулы V = Sh следует, что h = V: S. Тогда искомую высоту h бака можно вычислить так:

h = 324 : 54 = 6 (дм).

Ответ: 6 дм.