Что такое разность арифметической прогрессии. Как найти сумму арифметической прогрессии: формулы и пример их использования

Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):

В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .

Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.

И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .

Обозначение арифметической прогрессии

Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.

Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).

Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.

Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)

Решение задач на арифметическую прогрессию

В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:

Ответ: \(b_5=23\)

Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:

Ответ: \(-3\)

Пример (ОГЭ). Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:

Ответ: \(7,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(S_6=9\).

Пример (ОГЭ). В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(d=7\).

Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).

Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…

Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:

Ответ: \(b_{246}=1850\).

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где

\(a_n\) – последний суммируемый член;

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(S_{25}=1090\).

Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\), где

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример. Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Ответ: \(S_{33}=-231\).

Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)

Пример (ОГЭ). Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Ответ: \(S_{65}=-630,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:

Ответ: \(S=1683\).

Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .

Многие слышали об арифметической прогрессии, но не все хорошо представляют, что это такое. В данной статье дадим соответствующее определение, а также рассмотрим вопрос, как найти разность прогрессии арифметической, и приведем ряд примеров.

Математическое определение

Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:

Здесь n означает номер элемента a n в последовательности, а число d - это разность прогрессии (ее название следует из представленной формулы).

О чем говорит знание разности d? О том, как "далеко" друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a 4 , a10, но, как правило, используют первое число, то есть a 1 .

Формулы для определения элементов прогрессии

В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.

Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.

Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.

Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a 1). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:

d = (a n - a m) / (n - m), где n > m

Мы получили очень простую формулу: чтобы вычислить разность d в соответствии с условиями задачи, необходимо лишь взять отношение разностей самих элементов и их порядковых номеров. Следует обратить на один важный момент внимание: разности берутся между "старшим" и "младшим" членами, то есть n > m ("старший" - имеется в виду стоящий дальше от начала последовательности, его абсолютное значение может быть как больше, так и меньше более "младшего" элемента).

Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.

В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.

Решение без использования формул

Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.

Известные элементы стоят близко друг к другу в ряду. Сколько раз нужно добавить разность d к наименьшему, чтобы получить наибольшее из них? Три раза (первый раз добавив d, мы получим 7-й элемент, второй раз - восьмой, наконец, третий раз - девятый). Какое число нужно добавить к трем три раза, чтобы получить 18? Это число пять. Действительно:

Таким образом, неизвестная разность d = 5.

Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.

Задача, подобная предыдущей

Теперь решим похожую задачу, но изменим входные данные. Итак, следует найти если а3 = 2, а9 = 19.

Конечно, можно прибегнуть снова к методу решения "в лоб". Но поскольку даны элементы ряда, которые стоят относительно далеко друг от друга, такой метод станет не совсем удобным. А вот использование полученной формулы быстро приведет нас к ответу:

d = (а 9 - а 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Здесь мы округлили конечное число. Насколько это округление привело к ошибке, можно судить, проверив полученный результат:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Этот результат отличается всего на 0,1 % от значения, данного в условии. Поэтому использованное округление до сотых можно считать успешным выбором.

Задачи на применение формулы для an члена

Рассмотрим классический пример задачи на определение неизвестной d: найти разность прогрессии арифметической, если а1 = 12, а5 = 40.

Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a 1 , тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для a n члена. В данном случае имеем:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Мы получили точное число при делении, поэтому нет смысла проверять точность рассчитанного результата, как это было сделано в предыдущем пункте.

Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.

Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Что еще следует знать о прогрессии арифметической

Помимо задач на нахождение неизвестной разности или отдельных элементов, часто необходимо решать проблемы суммы первых членов последовательности. Рассмотрение этих задач выходит за рамки темы статьи, тем не менее для полноты информации приведем общую формулу для суммы n чисел ряда:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Или арифметическая - это вид упорядоченной числовой последовательности, свойства которой изучают в школьном курсе алгебры. В данной статье подробно рассмотрен вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии.

Что это за прогрессия?

Прежде чем переходить к рассмотрению вопроса (как найти сумму арифметической прогрессии), стоит понять, о чем пойдет речь.

Любая последовательность действительных чисел, которая получается путем добавления (вычитания) некоторого значения из каждого предыдущего числа, называется алгебраической (арифметической) прогрессией. Это определение в переводе на язык математики принимает форму:

Здесь i - порядковый номер элемента ряда a i . Таким образом, зная всего одно начальное число, можно с легкостью восстановить весь ряд. Параметр d в формуле называется разностью прогрессии.

Можно легко показать, что для рассматриваемого ряда чисел выполняется следующее равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

То есть для нахождения значения n-го по порядку элемента следует n-1 раз добавить разность d к первому элементу a 1 .

Чему равна сумма арифметической прогрессии: формула

Прежде чем приводить формулу для указанной суммы, стоит рассмотреть простой частный случай. Дана прогрессия натуральных чисел от 1 до 10, необходимо найти их сумму. Поскольку членов в прогрессии немного (10), то можно решить задачу в лоб, то есть просуммировать все элементы по порядку.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Стоит учесть одну интересную вещь: поскольку каждый член отличается от последующего на одно и то же значение d = 1, то попарное суммирование первого с десятым, второго с девятым и так далее даст одинаковый результат. Действительно:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Как видно, этих сумм всего 5, то есть ровно в два раза меньше, чем число элементов ряда. Тогда умножая число сумм (5) на результат каждой суммы (11), вы придете к полученному в первом примере результату.

Если обобщить эти рассуждения, то можно записать следующее выражение:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Это выражение показывает, что совсем не обязательно суммировать подряд все элементы, достаточно знать значение первого a 1 и последнего a n , а также общего числа слагаемых n.

Считается, что впервые до этого равенства додумался Гаусс, когда искал решение на заданную его школьным учителем задачу: просуммировать 100 первых целых чисел.

Сумма элементов от m до n: формула

Формула, приведенная в предыдущем пункте, дает ответ на вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии (первых элементов), но часто в задачах необходимо просуммировать ряд чисел, стоящих в середине прогрессии. Как это сделать?

Ответить на этот вопрос проще всего, рассматривая следующий пример: пусть необходимо найти сумму членов от m-го до n-го. Для решения задачи следует представить заданный отрезок от m до n прогрессии в виде нового числового ряда. В таком представлении m-й член a m будет первым, а a n станет под номер n-(m-1). В этом случае, применяя стандартную формулу для суммы, получится следующее выражение:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример использования формул

Зная, как найти сумму арифметической прогрессии, стоит рассмотреть простой пример использования приведенных формул.

Ниже дана числовая последовательность, следует найти сумму ее членов, начиная с 5-го и заканчивая 12-м:

Приведенные числа свидетельствуют, что разность d равна 3. Используя выражение для n-го элемента, можно найти значения 5-го и 12-го членов прогрессии. Получается:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Зная значения чисел, стоящих на концах рассматриваемой алгебраической прогрессии, а также зная, какие номера в ряду они занимают, можно воспользоваться формулой для суммы, полученной в предыдущем пункте. Получится:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Стоит отметить, что это значение можно было получить иначе: сначала найти сумму первых 12 элементов по стандартной формуле, затем вычислить сумму первых 4 элементов по той же формуле, после этого вычесть из первой суммы вторую.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение	Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий)	Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n a n + 1 = a n + d	Для любого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d

По условию:

a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .

Так как b 1 = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ : b 5 = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

.

Подставим данные в формулу:

Ответ : 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

.

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ : 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .

По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

.

Ответ : .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

.

Ответ : 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.

Понятие числовой последовательности подразумевает соответствие каждому натуральному числу некоторого действительного значения. Такой ряд чисел может быть как произвольным, так и обладать определенными свойствами – прогрессия. В последнем случае каждый последующий элемент (член) последовательности можно вычислить с помощью предыдущего.

Арифметическая прогрессия – последовательность числовых значений, в которой ее соседние члены разнятся между собой на одинаковое число (подобным свойством обладают все элементы ряда, начиная со 2-ого). Данное число – разница между предыдущим и последующим членом – постоянно и называется разностью прогрессии.

Разность прогрессии: определение

Рассмотрим последовательность, состоящую из j значений A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j принадлежит множеству натуральных чисел N. Арифметическая прогрессия, согласно своего определения, – последовательность, в которой a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d – искомая разность данной прогрессии.

d = a(j) – a(j-1).

Выделяют:

• Возрастающую прогрессию, в таком случае d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
• Убывающую прогрессию, тогда d < 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разность прогрессии и ее произвольные элементы

Если известны 2 произвольных члена прогрессии (i-ый, k-ый), то установить разность для данной последовательности можно на базе соотношения:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, значит d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разность прогрессии и ее первый член

Данное выражение поможет определить неизвестную величину лишь в случаях, когда известен номер элемента последовательности.

Разность прогрессии и ее сумма

Сумма прогрессии – это сумма ее членов. Для вычисления суммарного значения ее первых j элементов воспользуйтесь соответствующей формулой:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.